左侧的颈外动脉重度狭窄，应该挂血管外科。如果颈外动脉是重度狭窄，一般问题不大，不会造成非常严重的后果。因为颈外动脉的供血范围是头部的颅外软组织供血，并不是供应到颅内。如果左侧颈外动脉起始有严重的狭窄，通常问题不大。
而且左侧的颈外动脉与对侧的颈外动脉，通过头面部的组织有非常好的沟通。哪怕左侧的颈外动脉闭掉了，也不要紧，也不会出现缺血，因为对侧的颈外动脉可以补偿左侧的供血区域的问题。
所以如果颈外动脉出现狭窄，一般不需要特别的处理。如果偏要看医生，可以看血管外科，因为其他的科不管颈外动脉是否狭窄或者是否有其他问题。